139. На рисунке 76 AB = CD, AD = BC, BE — биссектриса угла ABC, а DF — биссектриса угла ADC. Докажите, что: а) ∠ABE = ∠ADF; б) △ABE = △CDF.

Рассмотрим треугольники ABC и CDA. У них AB = CD, BC = DA по условию, AC — общая сторона, поэтому они равны по трём сторонам. Следовательно, ∠ABC = ∠CDA и ∠BAC = ∠DCA.

1. а) BE и DF — биссектрисы равных углов ABC и CDA. Значит, ∠ABE = ½∠ABC = ½∠CDA = ∠ADF.
2. б) Точки E и F лежат на AC, поэтому ∠BAE = ∠BAC, а ∠DCF = ∠DCA; эти углы равны. Также AB = CD и по пункту а) ∠ABE = ∠CDF. Следовательно, △ABE = △CDF по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Ответ: оба утверждения доказаны.