140. В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ медианы BM и B₁M₁ равны, AB = A₁B₁, AC = A₁C₁. Докажите, что △ABC = △A₁B₁C₁.

Используем теорему Аполлония для медианы BM: AB² + BC² = 2(BM² + AM²). Поскольку M — середина AC, AM = AC/2. Аналогично, A₁M₁ = A₁C₁/2.

Из условий AB = A₁B₁, BM = B₁M₁ и AC = A₁C₁ следует, что

BC² = 2BM² + AC²/2 − AB² = 2B₁M₁² + A₁C₁²/2 − A₁B₁² = B₁C₁².

Длины сторон положительны, значит, BC = B₁C₁. Теперь AB = A₁B₁, AC = A₁C₁ и BC = B₁C₁, поэтому треугольники равны по трём сторонам.

Ответ: △ABC = △A₁B₁C₁.