15. Выполнить действия ($a>0, b>0$): $ab^6\sqrt[8]{81a^5b}\cdot\frac{1}{3}a^2\sqrt{3ab}\cdot b\sqrt[3]{9ab^2}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 15. Выполнить действия ($a>0, b>0$): $ab^6\sqrt[8]{81a^5b}\cdot\frac{1}{3}a^2\sqrt{3ab}\cdot b\sqrt[3]{9ab^2}$.$ Фото задания

Accepted Answer

Перепишем корни как степени. Поскольку $81=3^4$ и $9=3^2$, получаем

\[ab^6\cdot 3^{1/2}a^{5/8}b^{1/8}\cdot\frac13a^2\cdot3^{1/2}a^{1/2}b^{1/2}\cdot b\cdot3^{2/3}a^{1/3}b^{2/3}.\]

Складываем показатели одинаковых оснований, учитывая коэффициент $\frac13=3^{-1}$:

\[3^{-1+1/2+1/2+2/3}a^{1+5/8+2+1/2+1/3}b^{6+1/8+1/2+1+2/3}=3^{2/3}a^{107/24}b^{199/24}.\]

Ответ: $3^{2/3}a^{107/24}b^{199/24}$.

15. Выполнить действия (\(a>0, b>0\)): \(ab^6\sqrt[8]{81a^5b}\cdot\frac{1}{3}a^2\sqrt{3ab}\cdot b\sqrt[3]{9ab^2}\).