2.4.16. В прямоугольном треугольнике высота, проведённая из вершины прямого угла, равна медиане, проведённой из того же угла. Гипотенуза этого треугольника равна 9. Найдите его площадь.

Обозначим катеты через \(a,b\), а гипотенузу через \(c=9\). Медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна \(c/2\), а высота к гипотенузе равна \(ab/c\).

По условию \(ab/c=c/2\), поэтому \(2ab=a^2+b^2\). Тогда \((a-b)^2=0\), то есть катеты равны.

Поскольку треугольник равнобедренный прямоугольный, его площадь равна половине квадрата гипотенузы: \(S=c^2/4=81/4\).

Ответ: \(81/4\).