20. В равнобедренной трапеции основания равны 4 и 8, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Пусть основания трапеции \( a = 4 \) и \( b = 8 \). Угол при основании \( ∠ = 45^\circ \).

Площадь трапеции вычисляется по формуле: \( S = \frac{a+b}{2} · h \), где \( h \) — высота трапеции.

Проведём высоты из концов меньшего основания к большему. Эти высоты разделят трапецию на прямоугольник и два равных прямоугольных треугольника.

Длина большего основания \( b = 8 \). Меньшее основание \( a = 4 \).

Отрезки от концов меньшего основания до концов большего основания равны \( x = \frac{b-a}{2} = \frac{8-4}{2} = \frac{4}{2} = 2 \).

В прямоугольном треугольнике, образованном боковой стороной, высотой и отрезком \( x \), угол при основании равен 45°. Так как сумма углов в треугольнике 180°, а один угол 90°, то второй острый угол равен \( 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \).

Следовательно, этот треугольник является равнобедренным, и высота \( h \) равна отрезку \( x \).

\( h = x = 2 \).

Теперь найдём площадь трапеции:

\( S = \frac{4+8}{2} · 2 = \frac{12}{2} · 2 = 6 · 2 = 12 \).

Ответ: 12.