26. Биссектрисы углов C и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке L, лежащей на стороне AB. Докажите, что L — середина AB.

Доказательство:

1. Свойства параллелограмма: Противоположные стороны параллелограмма параллельны (AB || CD, BC || AD).
2. Свойства биссектрисы: Биссектриса делит угол пополам.
3. Накрест лежащие углы: Так как AB || CD, то биссектриса CL пересекает параллельные прямые AB и CD. Угол CLD и угол BCL являются накрест лежащими углами при параллельных прямых CD и AB и секущей CL. Следовательно, \( ∠ CLD = ∠ BCL \).
4. Равенство углов в треугольнике: В треугольнике BCL, \( ∠ BCL = ∠ CLD \) (как накрест лежащие).
5. Свойства углов параллелограмма: Углы C и D смежные, их сумма равна 180°.
6. Равенство углов в треугольнике: В треугольнике CLD, \( ∠ CLD = ∠ DCL = ∠ C / 2 \).
7. Треугольник BCL: Так как \( ∠ BCL = ∠ C / 2 \) и \( ∠ CLB = ∠ C / 2 \) (если L лежит на AB), то треугольник BCL равнобедренный с основанием CL. Отсюда следует, что BC = BL.
8. Треугольник ALD: Аналогично, в параллелограмме ABCD, AD || BC. Биссектриса DL пересекает параллельные прямые AD и BC. Угол ADL и угол BLD являются накрест лежащими углами при параллельных прямых AD и BC и секущей DL. Следовательно, \( ∠ ADL = ∠ BLD \).
9. В треугольнике ALD, \( ∠ ADL = ∠ DAL = ∠ D / 2 \).
10. Так как \( ∠ ADL = ∠ D / 2 \) и \( ∠ ALD = ∠ D / 2 \) (если L лежит на AB), то треугольник ALD равнобедренный с основанием DL. Отсюда следует, что AD = AL.
11. Свойства параллелограмма: Противоположные стороны параллелограмма равны: BC = AD.
12. Заключение: Так как BC = BL и AD = AL, а BC = AD, то BL = AL. Это означает, что точка L делит сторону AB на две равные части, то есть L является серединой AB.

Что и требовалось доказать.