225. При каких целых значениях m значение выражения является целым числом: а) (m − 3)²/m; б) (4m + 3)²/(2m + 3); в) (5m + 6)(m − 1)/(5m + 1)?

1. а) Область определения: \(m\ne0\). Преобразуем:

   \(\dfrac{(m-3)^2}{m}=m-6+\dfrac{9}{m}\).

   При целом \(m\) выражение целое тогда и только тогда, когда \(m\) — делитель 9. Поэтому \(m=-9,-3,-1,1,3,9\).

2. б) Делим числитель на знаменатель:

   \(\dfrac{(4m+3)^2}{2m+3}=8m+\dfrac{9}{2m+3}\).

   Нужно, чтобы \(2m+3\) было делителем 9. Так как это нечётное число, оно равно \(\pm1,\pm3,\pm9\). Получаем \(m=-6,-3,-2,-1,0,3\).

3. в) Делим числитель на знаменатель:

   \(\dfrac{(5m+6)(m-1)}{5m+1}=m-\dfrac{6}{5m+1}\).

   Следовательно, \(5m+1\) должно быть делителем 6. Среди делителей 6 числа, имеющие вид \(5m+1\), — 1 и 6. Отсюда \(m=0\) или \(m=1\).

Ответ: а) \(m=\pm1,\pm3,\pm9\); б) \(m=-6,-3,-2,-1,0,3\); в) \(m=0,1\).