229. Докажите, что если при некоторых значениях x и y значение дроби x/y является целым числом, то также является целым числом значение дроби: а) (x + 3y)/y; б) (3y − 2x)/y; в) [2(x² − 3) − 3(y² − 2)]/y².

Пусть \(\dfrac{x}{y}=k\), где \(k\) — целое число; при этом \(y\ne0\).

1. а) \(\dfrac{x+3y}{y}=\dfrac{x}{y}+3=k+3\), значит, дробь целая.

2. б) \(\dfrac{3y-2x}{y}=3-2\dfrac{x}{y}=3-2k\), значит, дробь целая.

3. в) Числитель упрощается: \(2(x^2-3)-3(y^2-2)=2x^2-3y^2\). Поэтому \(\dfrac{2x^2-3y^2}{y^2}=2\left(\dfrac{x}{y}\right)^2-3=2k^2-3\), что является целым числом.

Во всех трёх случаях полученное значение целое.