23. На рисунке 23 KT ⟂ MP, ∠3 = ∠4. а) Равны ли ∠1 и ∠2? б) Прямые AD, BE и CF пересекаются в точке O так, что луч OE — биссектриса угла FOD, ∠FOE = 37°30′. Найдите угол BOD (рис. 24).

а) Поскольку KT ⟂ MP, угол между лучами TM и TK равен 90°. Он состоит из ∠3 и ∠1, поэтому ∠1 + ∠3 = 90°.

Угол между лучами TK и TP также прямой и состоит из ∠2 и ∠4: ∠2 + ∠4 = 90°. По условию ∠3 = ∠4, следовательно, их дополнения до 90° равны: ∠1 = ∠2.

б) OE — биссектриса ∠FOD, поэтому ∠FOD = 2 · 37°30′ = 75°. Угол BOD вертикальный к углу AOF. Так как лучи OA и OD противоположны, ∠AOF = 180° − ∠FOD = 105°. Значит, ∠BOD = 105°.

Ответ: а) да; б) 105°.