25. В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 120, а площадь равна 540, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Пошаговое решение:

1. Свойства трапеции:
2. Пусть основания трапеции равны \( a \) (большее) и \( b \) (меньшее), а боковая сторона равна \( c \).
3. Периметр \( P = a + b + 2c = 120 \).
4. Площадь \( S = \frac{a+b}{2} · h = 540 \), где \( h \) — высота трапеции.
5. Так как в трапецию вписана окружность, то \( a + b = 2c \).
6. Подставим это в формулу периметра: \( (a+b) + (a+b) = 120 \Rightarrow 2(a+b) = 120 \Rightarrow a+b = 60 \).
7. Тогда \( 2c = 60 \Rightarrow c = 30 \).
8. Теперь найдем высоту: \( \frac{60}{2} · h = 540 \Rightarrow 30h = 540 \Rightarrow h = 18 \).
9. Находим основания:
10. Опустим высоту из конца меньшего основания на большее. Получим прямоугольный треугольник с гипотенузой \( c=30 \) и катетом \( rac{a-b}{2} \) и высотой \( h=18 \).
11. \( (rac{a-b}{2})^2 + h^2 = c^2 \)
12. \( (rac{a-b}{2})^2 + 18^2 = 30^2 \)
13. \( (rac{a-b}{2})^2 + 324 = 900 \)
14. \( (rac{a-b}{2})^2 = 576 \)
15. \( rac{a-b}{2} = 24 \)
16. \( a-b = 48 \).
17. Имеем систему уравнений:
18. \( a+b=60 \)
19. \( a-b=48 \)
20. Сложим уравнения: \( 2a = 108 \Rightarrow a = 54 \).
21. Вычтем: \( 2b = 12 \Rightarrow b = 6 \).
22. Итак, основания трапеции равны 54 и 6.
23. Находим расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшего основания:
24. Пусть диагонали пересекаются в точке O. Треугольник, образованный меньшим основанием и отрезками диагоналей, подобен треугольнику, образованному большим основанием и отрезками диагоналей.
25. Коэффициент подобия равен отношению оснований: \( k = rac{a}{b} = rac{54}{6} = 9 \).
26. Пусть \( h_1 \) — расстояние от точки O до меньшего основания, а \( h_2 \) — расстояние от точки O до большего основания.
27. Тогда \( h_1 + h_2 = h = 18 \).
28. Из подобия следует, что \( rac{h_1}{h_2} = k = 9 \), то есть \( h_1 = 9 h_2 \).
29. Подставим в сумму высот: \( 9h_2 + h_2 = 18 \Rightarrow 10h_2 = 18 \Rightarrow h_2 = 1.8 \).
30. Тогда \( h_1 = 9 · 1.8 = 16.2 \).
31. Расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшего основания равно \( h_1 \).

Ответ: 16.2