25.10. Докажите тождество: 4 sin(α/2) cos(30° − α/2) sin(60° − α/2) = sin(3α/2).

Объединим косинус и синус по формуле \(2\sin x\cos y=\sin(x+y)+\sin(x-y)\):

\(2\cos\left(30^\circ-\frac\alpha2\right)\sin\left(60^\circ-\frac\alpha2\right)=\sin(90^\circ-\alpha)+\sin30^\circ=\cos\alpha+\frac12\).

Тогда левая часть исходного равенства равна \(2\sin\frac\alpha2\left(\cos\alpha+\frac12\right)=2\sin\frac\alpha2\cos\alpha+\sin\frac\alpha2\). По формуле суммы синусов \(2\sin\frac\alpha2\cos\alpha=\sin\frac{3\alpha}2-\sin\frac\alpha2\), поэтому выражение равно \(\sin\frac{3\alpha}2\).

Ответ: тождество доказано.