25.6. Докажите тождество: 1) cos 3α cos 6α − cos 4α cos 7α = sin 10α sin α; 2) 2 cos(α/2) sin(α/4 + 15°) cos(α/4 − 15°) = sin(45° + α/4) cos(45° − 3α/4).

1. \(\cos3\alpha\cos6\alpha-\cos4\alpha\cos7\alpha=\frac12(\cos9\alpha+\cos3\alpha)-\frac12(\cos11\alpha+\cos3\alpha)=\frac12(\cos9\alpha-\cos11\alpha)=\sin10\alpha\sin\alpha\). Получили правую часть.
2. По формуле \(2\sin x\cos y=\sin(x+y)+\sin(x-y)\): \(2\sin\left(\frac\alpha4+15^\circ\right)\cos\left(\frac\alpha4-15^\circ\right)=\sin\frac\alpha2+\sin30^\circ=\sin\frac\alpha2+\frac12\). Поэтому левая часть равна \(\cos\frac\alpha2\left(\sin\frac\alpha2+\frac12\right)=\frac12\sin\alpha+\frac12\cos\frac\alpha2\). Правая часть преобразуется так: \(\sin\left(45^\circ+\frac\alpha4\right)\cos\left(45^\circ-\frac{3\alpha}4\right)=\frac12\left[\sin(90^\circ-\frac\alpha2)+\sin\alpha\right]=\frac12\cos\frac\alpha2+\frac12\sin\alpha\). Части равны.

Ответ: оба тождества доказаны.