25.8. Упростите выражение: 1) sin² α + sin² β + cos(α + β) cos(α − β); 2) cos²(45° − α) − cos²(60° + α) − sin(75° − 2α) cos 75°.

1. \(\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)=\frac12(\cos2\alpha+\cos2\beta)\), а \(\sin^2x=\frac12(1-\cos2x)\). Поэтому выражение равно \(1-\frac12(\cos2\alpha+\cos2\beta)+\frac12(\cos2\alpha+\cos2\beta)=1\).
2. Разность квадратов косинусов равна \(\frac12[\cos(90^\circ-2\alpha)-\cos(120^\circ+2\alpha)]=\frac12[\sin2\alpha-\cos(120^\circ+2\alpha)]\). Кроме того, \(\sin(75^\circ-2\alpha)\cos75^\circ=\frac12[\sin(150^\circ-2\alpha)-\sin2\alpha]\). Так как \(\cos(120^\circ+2\alpha)=-\sin(30^\circ+2\alpha)\) и \(\sin(150^\circ-2\alpha)=\sin(30^\circ+2\alpha)\), после вычитания третьего слагаемого остаётся \(\sin2\alpha\).

Ответ: 1) \(1\); 2) \(\sin2\alpha\).