25.7. Упростите выражение: 1) sin² α + cos(π/3 − α) cos(π/3 + α); 2) cos² α + cos² β − cos(α + β) cos(α − β); 3) cos²(45° + α) − cos²(30° − α) + sin 15° sin(75° − 2α).

1. \(\cos\left(\frac\pi3-\alpha\right)\cos\left(\frac\pi3+\alpha\right)=\frac12\left(\cos2\alpha+\cos\frac{2\pi}3\right)=\frac12\cos2\alpha-\frac14\). Тогда выражение равно \(\frac12(1-\cos2\alpha)+\frac12\cos2\alpha-\frac14=\frac14\).
2. \(\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)=\frac12(\cos2\alpha+\cos2\beta)\). Следовательно, выражение равно \(\frac12(1+\cos2\alpha)+\frac12(1+\cos2\beta)-\frac12(\cos2\alpha+\cos2\beta)=1\).
3. Используя \(\cos^2x=\frac12(1+\cos2x)\), получаем для разности квадратов \(\frac12[\cos(90^\circ+2\alpha)-\cos(60^\circ-2\alpha)]\). Также \(\sin15^\circ\sin(75^\circ-2\alpha)=\frac12[\cos(60^\circ-2\alpha)-\sin2\alpha]\). Поскольку \(\cos(90^\circ+2\alpha)=-\sin2\alpha\), сумма этих частей равна \(-\sin2\alpha\).

Ответ: 1) \(\frac14\); 2) \(1\); 3) \(-\sin2\alpha\).