25.5. Докажите тождество: 1) sin α sin 3α + sin 4α sin 8α = sin 7α sin 5α; 2) sin(π/4 + 5α) cos(π/4 + 2α) − sin(π/4 + α) sin(π/4 − 6α) = sin 4α cos α.

1. Преобразуем левую часть: \(\sin\alpha\sin3\alpha+\sin4\alpha\sin8\alpha=\frac12(\cos2\alpha-\cos4\alpha)+\frac12(\cos4\alpha-\cos12\alpha)=\frac12(\cos2\alpha-\cos12\alpha)\). По формуле произведения в разность \(\sin7\alpha\sin5\alpha=\frac12(\cos2\alpha-\cos12\alpha)\). Левая и правая части равны.
2. \(\sin\left(\frac\pi4+5\alpha\right)\cos\left(\frac\pi4+2\alpha\right)=\frac12(\cos7\alpha+\sin3\alpha)\). Кроме того, \(\sin\left(\frac\pi4+\alpha\right)\sin\left(\frac\pi4-6\alpha\right)=\frac12(\cos7\alpha-\sin5\alpha)\). Следовательно, левая часть равна \(\frac12(\sin3\alpha+\sin5\alpha)=\sin4\alpha\cos\alpha\), что совпадает с правой частью.

Ответ: оба тождества доказаны.