289. Упростить: а) √a · ³√a; б) (⁵√(x²) · √x)¹⁰; в) (³√(a²b))⁴.

Считаем переменные неотрицательными, чтобы выражения с чётными корнями были определены.

а) Представляем корни как степени и складываем показатели: \(\sqrt{a}\cdot\sqrt[3]{a}=a^{1/2+1/3}=a^{5/6}=\sqrt[6]{a^5}\).

б) Сначала упрощаем выражение в скобках: \((\sqrt[5]{x^2}\cdot\sqrt{x})^{10}=(x^{2/5+1/2})^{10}=(x^{9/10})^{10}=x^9\).

в) Возводим подкоренное выражение в четвёртую степень и выделяем полный куб: \((\sqrt[3]{a^2b})^4=\sqrt[3]{a^8b^4}=a^2b\sqrt[3]{a^2b}\).

Ответ: а) \(\sqrt[6]{a^5}\); б) \(x^9\); в) \(a^2b\sqrt[3]{a^2b}\).