3.22. Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Докажите, что \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC_1}=\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OC}\), где O — произвольная точка пространства.

В параллелепипеде \(\overrightarrow{AC_1}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA_1}\), а \(\overrightarrow{A_1C}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AA_1}\).

Используя сложение векторов, получаем:

\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC_1}=2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC_1}=2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA_1}.\)

Также \(\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\). Выражения равны, значит, требуемое равенство доказано.