3.23. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Докажите, что \(\left|\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AA_1}\right|=\left|\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AA_1}\right|\).

В прямоугольном параллелепипеде ребро \(AA_1\) перпендикулярно плоскости основания, поэтому \(\overrightarrow{AC}\perp\overrightarrow{AA_1}\). Для перпендикулярных векторов скалярное произведение равно нулю. Тогда

\(\left|\overrightarrow{AC}\pm\overrightarrow{AA_1}\right|^2=\left|\overrightarrow{AC}\right|^2+\left|\overrightarrow{AA_1}\right|^2\pm2\,\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AA_1}=\left|\overrightarrow{AC}\right|^2+\left|\overrightarrow{AA_1}\right|^2.\)

Квадраты обеих длин равны, а длины неотрицательны, следовательно, сами длины равны. Что и требовалось доказать.