3. ABCD — прямоугольник. BE ⟂ AC, ∠BCE = 60°, OE = 4. Найти: AC.

Точка O — середина диагонали AC, так как диагонали прямоугольника делятся точкой пересечения пополам. Треугольник BOC равнобедренный: \(OB=OC\). Поскольку E лежит на AC и BE ⟂ AC, треугольник BEC прямоугольный; при \(\angle BCE=60^\circ\) угол B равен 30°. Значит, \(\angle OBC=30^\circ\), а из равенства \(OB=OC\) следует \(\angle BCO=30^\circ\). Тогда \(\angle BOC=120^\circ\) — это противоречило бы тому, что O лежит на AC и заданному рисунку. Уточнение: на рисунке отметка 60° стоит между BC и CE, но E принадлежит AC; в прямоугольнике треугольник BEC не может иметь угол B 90° при BE ⟂ AC. Из условий также следует, что BO и CO лежат на диагоналях, поэтому угол BCO равен 60° и треугольник BOC равносторонний. Следовательно, высота OE к стороне BC здесь не соответствует обозначениям чертежа: OE лежит на AC, а не является высотой.

По отмеченному на рисунке перпендикуляру BE ⟂ AC точка E — проекция B на AC. В равностороннем треугольнике BOC высота BE к AC делит OC пополам, поэтому \(OE=OC/2\). Тогда \(OC=8\), а \(AC=2OC=16\).

Ответ: \(AC=16\).