3. По рисунку: в четырёхугольнике ABCD отмечено AB = CD и BC = AD = 3; ∠A = 60°, HD ⟂ BC, HD = √3. Найдите AC.

Так как обе пары противоположных сторон равны, ABCD — параллелограмм. Поэтому \(BC\parallel AD\), а угол между \(AB\) и \(BC\) равен \(60^\circ\).

Высота параллелограмма равна \(HD=AB\sin60^\circ\). Тогда \(AB=\frac{\sqrt{3}}{\sin60^\circ}=2\).

Соседние углы параллелограмма supplementary: \(\angle ABC=180^\circ-60^\circ=120^\circ\). По теореме косинусов в треугольнике ABC:

\(AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cos120^\circ=4+9+6=19\).

Ответ: \(AC=\sqrt{19}\).