№ 3. В треугольнике АВС на сторонах АВ и ВС соответственно отметили точки D и Е. Известно, что АС=12 см, DE=8 см, ∠BAC=∠BDE. Вычислите AD, если BD=9 см.

Краткая запись:

• Треугольник ABC.
• Точки D на AB, E на BC.
• AC = 12 см.
• DE = 8 см.
• \(\angle BAC = \angle BDE\).
• BD = 9 см.
• Найти: AD.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Рассмотрим треугольники ABC и DBE. У них \(\angle B\) - общий угол.
2. Шаг 2: По условию \(\angle BAC = \angle BDE\).
3. Шаг 3: Следовательно, треугольник ABC подобен треугольнику DBE по двум углам (первый признак подобия).
4. Шаг 4: Из подобия следует пропорциональность сторон: \(\frac{AB}{DB} = \frac{BC}{BE} = \frac{AC}{DE}\).
5. Шаг 5: Подставим известные значения: \(\frac{AB}{9} = \frac{BC}{BE} = \frac{12}{8}\).
6. Шаг 6: Найдем отношение сторон: \(\frac{12}{8} = \frac{3}{2}\).
7. Шаг 7: Теперь найдем длину стороны AB: \(\frac{AB}{9} = \frac{3}{2}\).
   \(AB = 9 \cdot \frac{3}{2} = \frac{27}{2} = 13.5\) см.
8. Шаг 8: Так как точка D лежит на стороне AB, то \(AB = AD + DB\).
9. Шаг 9: Вычислим AD: \(AD = AB - DB = 13.5 - 9 = 4.5\) см.

Ответ: 4.5 см