№ 5. В четырёхугольнике LMNO вершина О является центром окружности, а вершины М, N и L лежат на этой окружности. Известно, что углы ∠LON и ∠MLO соответственно равны 150° и 60°. Вычислите градусную меру ∠MNO.

Краткая запись:

• Четырехугольник LMNO.
• O - центр окружности.
• M, N, L - точки на окружности.
• \(\angle LON = 150^{\circ}\).
• \(\angle MLO = 60^{\circ}\).
• Найти: \(\angle MNO\).

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Треугольники LON, MON, LOM являются равнобедренными, так как стороны OM, ON, OL - радиусы окружности.
2. Шаг 2: Найдем углы в треугольнике LON.
   \(\angle OLN = \angle ONL = \frac{180^{\circ} - 150^{\circ}}{2} = \frac{30^{\circ}}{2} = 15^{\circ}\).
3. Шаг 3: Рассмотрим угол \(\angle MLO = 60^{\circ}\). Это угол между хордой ML и радиусом OL.
4. Шаг 4: Угол \(\angle MON\) - центральный угол, опирающийся на дугу MN. Угол \(\angle MLN\) - вписанный угол, опирающийся на ту же дугу. Следовательно, \(\angle MON = 2 \cdot \angle MLN\).
5. Шаг 5: Найдем \(\angle MLN\). Поскольку \(\angle MLO = 60^{\circ}\), то \(\angle MLN = \angle MLO - \angle NLO = 60^{\circ} - 15^{\circ} = 45^{\circ}\).
6. Шаг 6: Теперь найдем \(\angle MON\): \(\angle MON = 2 \cdot \angle MLN = 2 \cdot 45^{\circ} = 90^{\circ}\).
7. Шаг 7: Теперь найдем углы в равнобедренном треугольнике MON.
   \(\angle OMN = \angle ONM = \frac{180^{\circ} - 90^{\circ}}{2} = \frac{90^{\circ}}{2} = 45^{\circ}\).
8. Шаг 8: Нам нужно найти \(\angle MNO\). Этот угол состоит из двух частей: \(\angle MNO = \angle ONL + \angle OMN\).
9. Шаг 9: Подставим найденные значения: \(\angle MNO = 15^{\circ} + 45^{\circ} = 60^{\circ}\).

Ответ: 60°