7. Докажите, что при любом значении р уравнение x² + px + p − 1 = 0 имеет хотя бы один корень.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Квадратное уравнение имеет хотя бы один корень, если его дискриминант (D) больше или равен нулю.
2. Шаг 2: Найдем дискриминант для данного уравнения \(x^{2} + px + p - 1 = 0\).
   \(a=1, b=p, c=p-1\)
   \(D = b^{2} - 4ac = p^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (p-1) = p^{2} - 4p + 4\)
3. Шаг 3: Преобразуем выражение для дискриминанта.
   \(p^{2} - 4p + 4 = (p-2)^{2}\)
4. Шаг 4: Поскольку \((p-2)^{2}\) является квадратом любого действительного числа, оно всегда больше или равно нулю.
   \((p-2)^{2} \ge 0\) для любого значения p.
5. Шаг 5: Следовательно, дискриминант всегда неотрицателен, что гарантирует наличие хотя бы одного корня у данного уравнения при любом значении p.

Доказано