№ 4. В равнобедренной трапеции ADCD с основаниями AD и BC синус угла А равен 1/2. Вычислите площадь трапеции, если сумма оснований равна 28 см, а периметр трапеции равен 36 см.

Краткая запись:

• Равнобедренная трапеция ABCD.
• \(\sin A = \frac{1}{2}\).
• AD + BC = 28 см (сумма оснований).
• P = 36 см (периметр).
• Найти: Площадь трапеции.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Из \(\sin A = \frac{1}{2}\) следует, что \(\angle A = 30^{\circ}\) (так как угол трапеции острый).
2. Шаг 2: Периметр трапеции: \(AD + BC + AB + CD = 36\).
3. Шаг 3: Так как трапеция равнобедренная, боковые стороны равны: \(AB = CD\).
4. Шаг 4: Сумма оснований \(AD + BC = 28\).
5. Шаг 5: Подставим известные значения в периметр: \(28 + 2AB = 36\).
6. Шаг 6: Найдем длину боковой стороны: \(2AB = 36 - 28 = 8\) см, значит \(AB = 4\) см.
7. Шаг 7: Опустим высоту из вершины B на основание AD (пусть это будет BH). В прямоугольном треугольнике ABH: \(\sin A = \frac{BH}{AB}\).
8. Шаг 8: Найдем высоту BH: \(BH = AB \cdot \sin A = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2\) см.
9. Шаг 9: Площадь трапеции вычисляется по формуле: \(S = \frac{AD + BC}{2} \cdot BH\).
10. Шаг 10: Подставим известные значения: \(S = \frac{28}{2} \cdot 2 = 14 \cdot 2 = 28\) см².

Ответ: 28 см²