32. 1/2 lg(x² + x - 5) = lg(5x) + lg(1/5x)

Question

Вопрос:

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Упростим правую часть уравнения:

\( lg(5x) + lg(\frac{1}{5x}) = lg(5x \cdot \frac{1}{5x}) = lg(1) = 0 \)

Теперь уравнение выглядит так:

\( \frac{1}{2} lg(x^2 + x - 5) = 0 \)

Умножим обе части на 2:

\( lg(x^2 + x - 5) = 0 \)

Представим 0 как десятичный логарифм от 1:

\( lg(x^2 + x - 5) = lg(1) \)

Приравниваем выражения под знаком логарифма:

\( x^2 + x - 5 = 1 \)\( x^2 + x - 6 = 0 \)

Решим квадратное уравнение:

\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-6)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2} \]

Получаем два корня:

\( x_1 = \frac{-1 + 5}{2} = 2 \)\( x_2 = \frac{-1 - 5}{2} = -3 \)

Проверим корни на допустимость. Аргументы логарифмов должны быть положительными:

Для \( x = 2 \): \( x^2 + x - 5 = 4 + 2 - 5 = 1 > 0 \). \( 5x = 10 > 0 \). \( 1/(5x) = 1/10 > 0 \). Корень подходит.

Для \( x = -3 \): \( x^2 + x - 5 = 9 - 3 - 5 = 1 > 0 \). \( 5x = -15 \) — не подходит, так как аргумент логарифма должен быть положительным.

Ответ: 2