38. log₂²(1-x) - 2 log₂(1-x) = 3

Question

Вопрос:

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Сделаем замену переменной. Пусть \( y = \log_2(1-x) \).

Уравнение примет вид:

\( y^2 - 2y = 3 \)\( y^2 - 2y - 3 = 0 \)

Решим квадратное уравнение для \( y \):

\[ y = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-3)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2} \]

Получаем два значения для \( y \):

\( y_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3 \)\( y_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1 \)

Теперь вернемся к замене:

Случай 1: \( y_1 = 3 \)

\( \log_2(1-x) = 3 \)\( 1-x = 2^3 \)\( 1-x = 8 \)\( x = 1 - 8 \)\( x = -7 \)

Случай 2: \( y_2 = -1 \)

\( \log_2(1-x) = -1 \)\( 1-x = 2^{-1} \)\( 1-x = \frac{1}{2} \)\( x = 1 - \frac{1}{2} \)\( x = \frac{1}{2} \)

Проверим корни на допустимость. Аргумент логарифма \( 1-x \) должен быть положительным:

Для \( x = -7 \): \( 1-x = 1 - (-7) = 8 > 0 \). Корень подходит.

Для \( x = 1/2 \): \( 1-x = 1 - 1/2 = 1/2 > 0 \). Корень подходит.

Ответ: -7; 1/2