39. 2 log₂ x = 3 log₃ x

Question

Вопрос:

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Приведем логарифмы к одному основанию, например, к натуральному логарифму \( \ln \):

\( 2 \frac{\ln x}{\ln 2} = 3 \frac{\ln x}{\ln 3} \)

Перенесем все в левую часть:

\( 2 \frac{\ln x}{\ln 2} - 3 \frac{\ln x}{\ln 3} = 0 \)

Вынесем \( \ln x \) за скобки:

\( \ln x \left( \frac{2}{\ln 2} - \frac{3}{\ln 3} \right) = 0 \)

Это уравнение имеет два случая:

Случай 1: \( \ln x = 0 \)

\( x = e^0 \)

\( x = 1 \)

Случай 2: \( \frac{2}{\ln 2} - \frac{3}{\ln 3} = 0 \)

\( \frac{2}{\ln 2} = \frac{3}{\ln 3} \)

\( 2 \ln 3 = 3 \ln 2 \)

\( \ln 3^2 = \ln 2^3 \)

\( \ln 9 = \ln 8 \)

Это равенство неверно, так как \( 9 \neq 8 \). Значит, этот случай не дает решений.

Проверим корень \( x=1 \) на допустимость. Аргумент логарифма \( x \) должен быть больше нуля. \( 1 > 0 \). Корень подходит.

Ответ: 1