33. log₃(x-1) + 2 log₉(17+x) = 7 + log⅓ 9

Question

Вопрос:

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Для начала, упростим логарифмы с разными основаниями:

\( 2 \log_9(17+x) = 2 \frac{\log_3(17+x)}{\log_3 9} = 2 \frac{\log_3(17+x)}{2} = \log_3(17+x) \)

\( \log_{1/3} 9 = \frac{\log_3 9}{\log_3 (1/3)} = \frac{2}{-1} = -2 \)

Теперь уравнение примет вид:

\( \log_3(x-1) + \log_3(17+x) = 7 - 2 \)\( \log_3((x-1)(17+x)) = 5 \)

Представим 5 как логарифм по основанию 3:

\( \log_3((x-1)(17+x)) = \log_3(3^5) \)

Приравниваем выражения под знаком логарифма:

\( (x-1)(17+x) = 3^5 \)\( 17x + x^2 - 17 - x = 243 \)\( x^2 + 16x - 17 - 243 = 0 \)\( x^2 + 16x - 260 = 0 \)

Решим квадратное уравнение:

\[ x = \frac{-16 \pm \sqrt{16^2 - 4(1)(-260)}}{2(1)} = \frac{-16 \pm \sqrt{256 + 1040}}{2} = \frac{-16 \pm \sqrt{1296}}{2} \]

\( \sqrt{1296} = 36 \)

\[ x = \frac{-16 \pm 36}{2} \]

Получаем два корня:

\( x_1 = \frac{-16 + 36}{2} = \frac{20}{2} = 10 \)\( x_2 = \frac{-16 - 36}{2} = \frac{-52}{2} = -26 \)

Проверим корни на допустимость. Аргументы логарифмов должны быть положительными:

Для \( x = 10 \): \( x-1 = 9 > 0 \), \( 17+x = 27 > 0 \). Корень подходит.

Для \( x = -26 \): \( x-1 = -27 \) — не подходит.

Ответ: 10