40. Решить систему уравнений: { log₃ x - log₃ y = 2, 2y² + x - 11 = 0 }

Решение:

1. Преобразуем первое уравнение системы:
\( \log_3 \frac{x}{y} = 2 \)\( \frac{x}{y} = 3^2 \)\( x = 9y \)
2. Подставим \( x = 9y \) во второе уравнение:
\( 2y^2 + 9y - 11 = 0 \)
3. Решим полученное квадратное уравнение относительно \( y \):
\[ y = \frac{-9 \pm \sqrt{9^2 - 4(2)(-11)}}{2(2)} = \frac{-9 \pm \sqrt{81 + 88}}{4} = \frac{-9 \pm \sqrt{169}}{4} = \frac{-9 \pm 13}{4} \]
4. Найдем значения \( y \):
\( y_1 = \frac{-9 + 13}{4} = \frac{4}{4} = 1 \)\( y_2 = \frac{-9 - 13}{4} = \frac{-22}{4} = -5.5 \)
5. Найдем соответствующие значения \( x \) используя \( x = 9y \):
\( x_1 = 9 \cdot 1 = 9 \)\( x_2 = 9 \cdot (-5.5) = -49.5 \)
6. Проверим допустимость логарифмов. Аргументы логарифмов \( x \) и \( y \) должны быть положительными.
7. Для пары \( (9, 1) \): \( x=9 > 0 \) и \( y=1 > 0 \). Эта пара подходит.
8. Для пары \( (-49.5, -5.5) \): \( x=-49.5 < 0 \) и \( y=-5.5 < 0 \). Эта пара не подходит, так как аргументы логарифмов не могут быть отрицательными.

Ответ: (9; 1)