39. Две стороны треугольника равны 3 см и 4 см, а синус угла между ними равен √35/6. Найдите третью сторону треугольника. Сколько решений имеет задача?

Из условия \(\sin\alpha=\frac{\sqrt{35}}6\). Поэтому \(\cos\alpha=\pm\frac16\).

По теореме косинусов:

\(c^2=3^2+4^2-2\cdot3\cdot4\cos\alpha=25-24\cos\alpha\).

При \(\cos\alpha=\frac16\): \(c^2=25-4=21\), значит \(c=\sqrt{21}\) см.

При \(\cos\alpha=-\frac16\): \(c^2=25+4=29\), значит \(c=\sqrt{29}\) см.

Ответ: третья сторона равна \(\sqrt{21}\) см или \(\sqrt{29}\) см; задача имеет 2 решения.