4. Моторная лодка прошла по течению реки 20 км, а против течения 30 км, найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки равна 3 км/ч, а на весь путь затрачено 6 ч 40 мин.

Решение:

Пусть v — собственная скорость лодки (км/ч).

Скорость лодки по течению: v + 3 км/ч.

Скорость лодки против течения: v - 3 км/ч.

Время в пути по течению: t1 = 20 / (v + 3) ч.

Время в пути против течения: t2 = 30 / (v - 3) ч.

Общее время в пути: 6 ч 40 мин = 6 + 40/60 ч = 6 + 2/3 ч = 20/3 ч.

Составим уравнение:

  rac{20}{v + 3} + rac{30}{v - 3} = rac{20}{3}

Умножим обе части уравнения на 3(v + 3)(v - 3):

  20 	imes 3(v - 3) + 30 	imes 3(v + 3) = 20(v + 3)(v - 3)
  60(v - 3) + 90(v + 3) = 20(v^2 - 9)
  60v - 180 + 90v + 270 = 20v^2 - 180
  150v + 90 = 20v^2 - 180
  20v^2 - 150v - 270 = 0

Разделим на 10:

  2v^2 - 15v - 27 = 0

Решим квадратное уравнение:

  D = (-15)^2 - 4 	imes 2 	imes (-27) = 225 + 216 = 441
  
v1 = (15 + √441) / (2 	imes 2) = (15 + 21) / 4 = 36 / 4 = 9
  v2 = (15 - √441) / (2 	imes 2) = (15 - 21) / 4 = -6 / 4 = -3/2

Так как скорость не может быть отрицательной, v = -3/2 км/ч не подходит.

Ответ: 9 км/ч