4. Моторная лодка прошла по течению реки 8 км, а против течения 3 км, затратив на весь путь 45 мин. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки равна 2 км/ч.

Решение:

Пусть v — собственная скорость лодки (км/ч).

Скорость лодки по течению: v + 2 км/ч.

Скорость лодки против течения: v - 2 км/ч.

Время в пути по течению: t1 = 8 / (v + 2) ч.

Время в пути против течения: t2 = 3 / (v - 2) ч.

Общее время в пути: 45 мин = 45/60 ч = 3/4 ч.

Составим уравнение:

  rac{8}{v + 2} + rac{3}{v - 2} = rac{3}{4}

Умножим обе части уравнения на 4(v + 2)(v - 2):

  8 	imes 4(v - 2) + 3 	imes 4(v + 2) = 3(v + 2)(v - 2)
  32(v - 2) + 12(v + 2) = 3(v^2 - 4)
  32v - 64 + 12v + 24 = 3v^2 - 12
  44v - 40 = 3v^2 - 12
  3v^2 - 44v + 28 = 0

Решим квадратное уравнение:

  D = (-44)^2 - 4 	imes 3 	imes 28 = 1936 - 336 = 1600
  
v1 = (44 + √1600) / (2 	imes 3) = (44 + 40) / 6 = 84 / 6 = 14
  v2 = (44 - √1600) / (2 	imes 3) = (44 - 40) / 6 = 4 / 6 = 2/3

Так как скорость течения 2 км/ч, собственная скорость лодки должна быть больше. Поэтому v = 2/3 км/ч не подходит.

Ответ: 14 км/ч