4. Решите систему уравнений \(\begin{cases}\sqrt{2x+y+4}+\sqrt{x+3y+11}=7,\\3x+4y=10.\end{cases}\)

Обозначим подкоренные выражения через \(A=2x+y+4\) и \(B=x+3y+11\). Из второго уравнения следует \(A+B=3x+4y+15=25\).

Пусть \(u=\sqrt A\), \(v=\sqrt B\). Тогда \(u+v=7\), а \(u^2+v^2=25\). Поэтому \(2uv=49-25=24\), то есть \(uv=12\). Числа \(u,v\) — корни уравнения \(z^2-7z+12=0\), значит, это 3 и 4.

Первый вариант: \(A=9\), \(B=16\). Из \(2x+y+4=9\) и \(3x+4y=10\) получаем \(x=2,\ y=1\).

Второй вариант: \(A=16\), \(B=9\). Из \(2x+y+4=16\) и \(3x+4y=10\) получаем \(x=\frac{38}{5},\ y=-\frac{16}{5}\).

В обоих случаях корни определены, а их сумма равна 7.

Ответ: \((2;1)\), \(\left(\frac{38}{5};-\frac{16}{5}\right)\).