Вариант 2. 4. Решите систему уравнений \(\begin{cases}\sqrt{x+2y+4}+\sqrt{3x+4y+5}=7,\\4x+6y=16.\end{cases}\)

Обозначим подкоренные выражения через \(A=x+2y+4\) и \(B=3x+4y+5\). По второму уравнению \(A+B=4x+6y+9=25\).

Если корни существуют, то они неотрицательны. По неравенству \((\sqrt A+\sqrt B)^2\le2(A+B)\) получаем \((\sqrt A+\sqrt B)^2\le50\). Но первое уравнение требует, чтобы эта величина была \(7^2=49\), что само по себе возможно; уточним по произведению: из суммы корней 7 и суммы их квадратов 25 следует \(2\sqrt{AB}=49-25=24\), то есть \(\sqrt{AB}=12\). Тогда сумма корней и их произведение задают корни чисел 3 и 4.

Следовательно, возможны пары \((A,B)=(9,16)\) или \((16,9)\). При этом \(A+B=25\), что согласуется с линейным уравнением. Для первой пары из \(x+2y=5\), \(3x+4y=11\) получаем \((x,y)=(1,2)\). Для второй пары из \(x+2y=12\), \(3x+4y=4\) получаем \((x,y)=(-20,16)\).

Ответ: \((1;2)\), \((-20;16)\).