4. Вася написал на доске пример на умножение двух двузначных чисел, а затем заменил все цифры буквами (одинаковые цифры — одинаковыми буквами, разные — разными). Получилось AB · CD = EEFF. Докажите, что он где-то ошибся.

Число \(EEFF\) делится на 11: по признаку делимости на 11 разность сумм цифр на нечётных и чётных местах равна \((E+F)-(E+F)=0\).

Значит, произведение двух двузначных чисел \(AB\cdot CD\) делится на простое число 11. По свойству простого делителя 11 должно делить хотя бы один из множителей.

Но двузначное число делится на 11 только тогда, когда его цифры одинаковы. В записи \(AB\) буквы различны, как и в записи \(CD\); по условию разные цифры заменены разными буквами. Следовательно, цифры в каждом из этих чисел различны, и ни одно из них не делится на 11.

Получили противоречие, значит, такой пример невозможен.