6. Даны простые числа p и q и натуральные числа x и y, причём x < p и y < q. Докажите, что если число p/x + q/y целое, то x = y.

Пусть \(p/x+q/y\) — целое число. Приведём сумму к общему знаменателю: \((py+qx)/(xy)\). Значит, \(xy\) делит \(py+qx\).

В частности, \(x\) делит \(py+qx\), а поскольку \(x\) делит \(qx\), вычитание даёт: \(x\) делит \(py\). Так как \(x

Аналогично, из делимости \(xy\mid py+qx\) следует, что \(y\) делит \(qx\\text{.}\) Так как \(y

Натуральные числа, каждое из которых делит другое, равны.

Ответ: \(x=y\).