9. Докажите, что для любого натурального a число a³ − 1 не является степенью двойки.

При \(a=1\) получаем \(a^3-1=0\), а ноль не является степенью двойки.

Если \(a\geq2\), разложим число на множители:

\(a^3-1=(a-1)(a^2+a+1)\).

Множитель \(a^2+a+1\) нечётный и больше 1. Следовательно, у произведения есть нечётный делитель, больший 1. Степень двойки, напротив, не имеет таких делителей. Значит, \(a^3-1\) не является степенью двойки.