7. Решите в натуральных числах уравнение x² − y² + 2y = 8.

Сгруппируем выражение, выделив квадрат:

\(x^2-y^2+2y=8\), поэтому \(x^2-(y-1)^2=7\).

Разложим разность квадратов:

\((x-y+1)(x+y-1)=7\).

При натуральных \(x,y\) второй множитель положителен, а произведение равно положительному простому числу 7. Возможны пары положительных множителей \((1,7)\) и \((7,1)\).

Из пары \((1,7)\) получаем \(x=4\), \(y=4\). Пара \((7,1)\) даёт \(y=-2\), что не является натуральным числом.

Ответ: \((x,y)=(4,4)\).