404. Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Пусть в прямоугольном треугольнике \(ABC\) угол \(C\) прямой, а \(CM\) — медиана к гипотенузе \(AB\). Тогда \(M\) — середина гипотенузы.

Окружность с центром в точке \(M\) и радиусом \(MA\) проходит через точки \(A\), \(B\) и \(C\), поскольку угол \(ACB\) прямой. Следовательно, \(AB\) является диаметром этой окружности.

Поэтому \(MA=MB=MC\). Так как \(M\) — середина \(AB\), то \(MA=\frac{AB}{2}\). Значит, \(CM=\frac{AB}{2}\).