408. Докажите, что параллелограмм является ромбом, если: а) его диагонали взаимно перпендикулярны; б) диагональ является биссектрисой его угла.

а) Пусть диагонали параллелограмма пересекаются в точке O и перпендикулярны. В прямоугольных треугольниках, образованных диагоналями, две стороны равны как половины диагоналей, а углы при O равны 90°. Следовательно, треугольники равны по двум катетам. Отсюда равны все четыре стороны параллелограмма. Значит, параллелограмм является ромбом.

б) Пусть диагональ \(AC\) является биссектрисой угла \(A\). Рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(ADC\). В них \(AB=CD\) и \(BC=AD\) как противоположные стороны параллелограмма, сторона \(AC\) общая, а углы \(BAC\) и \(CAD\) равны. Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому \(AB=AD\). В параллелограмме равенство соседних сторон означает, что все стороны равны. Следовательно, это ромб.