45. Докажите тождество Диофанта Александрийского: $(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2.$

Question

Вопрос: $Фото задания: 45. Докажите тождество Диофанта Александрийского: $(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2.$$ Фото задания

Accepted Answer

Раскроем скобки в правой части:

$(ac+bd)^2+(ad-bc)^2=a^2c^2+2abcd+b^2d^2+a^2d^2-2abcd+b^2c^2.$

Слагаемые $2abcd$ и $-2abcd$ сокращаются. Сгруппируем оставшееся:

$a^2(c^2+d^2)+b^2(c^2+d^2)=(a^2+b^2)(c^2+d^2).$

Правая часть равна левой, следовательно, тождество доказано.

45. Докажите тождество Диофанта Александрийского: \((a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2.\)