50. Докажите тождество \((10n+5)^2=100n(n+1)+25.\) Сформулируйте правило возведения в квадрат натурального числа, оканчивающегося цифрой 5. Найдите по этому правилу значения степеней: \(15^2,\ 35^2,\ 55^2,\ 85^2,\ 105^2.\)

Докажем тождество, раскрыв квадрат суммы:

\((10n+5)^2=100n^2+100n+25=100n(n+1)+25.\)

Значит, чтобы возвести в квадрат натуральное число, оканчивающееся цифрой 5, нужно отбросить последнюю цифру 5, оставшееся число умножить на следующее за ним натуральное число и приписать справа 25.

Применим правило: \(15^2=1\cdot2\,|\,25=225\); \(35^2=3\cdot4\,|\,25=1225\); \(55^2=5\cdot6\,|\,25=3025\); \(85^2=8\cdot9\,|\,25=7225\); \(105^2=10\cdot11\,|\,25=11025\).

Ответ: \(15^2=225,\ 35^2=1225,\ 55^2=3025,\ 85^2=7225,\ 105^2=11025.\)