46. В работах Леонарда Эйлера используется тождество \((p^2+cq^2)(r^2+cs^2)=(pr+cqs)^2+c(ps-qr)^2.\) Докажите это тождество.

Раскроем скобки в правой части:

\((pr+cqs)^2+c(ps-qr)^2=p^2r^2+2cpqrs+c^2q^2s^2+cp^2s^2-2cpqrs+cq^2r^2.\)

Смешанные слагаемые сокращаются. Сгруппируем остальные:

\(p^2(r^2+cs^2)+cq^2(r^2+cs^2)=(p^2+cq^2)(r^2+cs^2).\)

Это левая часть тождества, поэтому тождество доказано.