47. Докажите, что квадрат числа, являющегося суммой квадратов двух различных натуральных чисел, можно представить в виде суммы квадратов натуральных чисел.

Пусть \(n=a^2+b^2\), где \(a\) и \(b\) — различные натуральные числа. Тогда по формуле разности квадратов и формуле квадрата удвоенного произведения:

\(n^2=(a^2+b^2)^2=(a^2-b^2)^2+(2ab)^2.\)

Так как \(a\ne b\), число \(|a^2-b^2|\) — натуральное; \(2ab\) также натуральное. Значит, квадрат исходного числа представлен суммой квадратов натуральных чисел.