5*. Докажите справедливость неравенства: а) x² + y² − 4x + 2y + 5 > 0; б) x⁴ − 5x² − 2x + 11 > 0; в) x² − 2x + 1/(x² − 2x + 2) ≥ 0.

а) Дополнение до квадратов даёт x² + y² − 4x + 2y + 5 = (x − 2)² + (y + 1)². При x = 2 и y = −1 левая часть равна 0, поэтому строгое неравенство неверно. Верно нестрогое неравенство ≥ 0.

б) x⁴ − 5x² − 2x + 11 = (x² − 3)² + (x − 1)² + 1. Сумма квадратов и положительной единицы строго положительна.

в) Положим u = (x − 1)² ≥ 0. Тогда выражение равно u + 1/(u + 1), а оба слагаемых положительны.

Ответ: а) утверждение неверно; контрпример x = 2, y = −1. б), в) неравенства верны.