5*. Докажите справедливость неравенства: а) x² + y² − 6x + 4y + 13 ≥ 0; б) x⁴ + 13x² − 6x + 6 > 0; в) x² + 3 > √(x⁴ + 6x² + 8).

а) x² + y² − 6x + 4y + 13 = (x − 3)² + (y + 2)² ≥ 0.

б) Выделим полный квадрат: 13x² − 6x + 6 = 13(x − 3/13)² + 69/13. Поэтому всё выражение равно x⁴ + 13(x − 3/13)² + 69/13 > 0.

в) Обе части положительны, поэтому можно сравнить их квадраты: (x² + 3)² = x⁴ + 6x² + 9 > x⁴ + 6x² + 8. Следовательно, x² + 3 > √(x⁴ + 6x² + 8).

Ответ: все три неравенства верны.