5. Преобразуйте в дробь выражение: 1) a) (1+a⁻³)(a+1)⁻²; 2) a) (a/c)⁻¹ + (a/c)⁻³;

Решение:

Используем правила:

\[ a^{-n} = \frac{1}{a^n} \]\[ (\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^{n} \]

1. 1)
   1. \( (1 + a^{-3})(a + 1)^{-2} = (1 + \frac{1}{a^3})(\frac{1}{a+1})^2 = (\frac{a^3 + 1}{a^3})(\frac{1}{(a+1)^2}) \) Используем формулу суммы кубов \( a^3 + 1 = (a+1)(a^2 - a + 1) \). \( = \frac{(a+1)(a^2 - a + 1)}{a^3(a+1)^2} = \frac{a^2 - a + 1}{a^3(a+1)} \)
2. 2)
   1. \( (\frac{a}{c})^{-1} + (\frac{a}{c})^{-3} = (\frac{c}{a})^{1} + (\frac{c}{a})^{3} = \frac{c}{a} + \frac{c^3}{a^3} = \frac{c \cdot a^2}{a^3} + \frac{c^3}{a^3} = \frac{ca^2 + c^3}{a^3} \)

Ответ: 1) а) \( \frac{a^2 - a + 1}{a^3(a+1)} \); 2) а) \( \frac{ca^2 + c^3}{a^3} \)