5. Стороны параллелограмма равны 4 и 8 см. Может ли его диагональ быть: а) 10 см; б) 12 см?

Для параллелограмма со сторонами 4 см и 8 см длина диагонали строго больше разности сторон и строго меньше их суммы:

\(8-4<d<8+4\), то есть \(4<d<12\).

а) 10 см лежит в этом промежутке — такая диагональ возможна. Например, по формуле диагонали можно получить \(\cos\varphi=\frac{10^2-4^2-8^2}{2\cdot4\cdot8}=\frac{5}{16}\), что допустимо.

б) 12 см равна сумме сторон. Это возможно только при вырождении фигуры в отрезок, поэтому у обычного параллелограмма такой диагонали быть не может.

Ответ: а) может; б) не может.