5) z⁶ - 7z³ - 8 = 0;

Решение:

1. Шаг 1: Данное уравнение является биквадратным относительно \( z^3 \). Сделаем замену переменной: пусть \( y = z^3 \). Тогда уравнение примет вид:
   \( y^2 - 7y - 8 = 0 \).
2. Шаг 2: Решаем квадратное уравнение относительно \( y \).
   Дискриминант \( D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81 \).
   Корни:
   \( y_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 9}{2} = 8 \).
   \( y_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 9}{2} = -1 \).
3. Шаг 3: Возвращаемся к замене \( z^3 = y \).
   Случай 1: \( z^3 = 8 \).
   Один действительный корень: \( z = \sqrt[3]{8} = 2 \).
   Другие два комплексных корня можно найти, решив \( z^3 - 8 = 0 \) как разность кубов: \( (z - 2)(z^2 + 2z + 4) = 0 \).
   Решаем \( z^2 + 2z + 4 = 0 \):
   \( D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12 \).
   \( z = \frac{-2 \pm \sqrt{-12}}{2} = \frac{-2 \pm 2i\sqrt{3}}{2} = -1 \pm i\sqrt{3} \).
4. Шаг 4: Случай 2: \( z^3 = -1 \).
   Один действительный корень: \( z = \sqrt[3]{-1} = -1 \).
   Другие два комплексных корня можно найти, решив \( z^3 + 1 = 0 \) как сумму кубов: \( (z + 1)(z^2 - z + 1) = 0 \).
   Решаем \( z^2 - z + 1 = 0 \):
   \( D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3 \).
   \( z = \frac{-(-1) \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2} \).

Ответ: \( z = 2, -1 \pm i\sqrt{3}, -1, \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2} \)