73. Решить уравнение: 1) z² = -5 + 12i;

Решение:

1. Шаг 1: Представим комплексное число \( -5 + 12i \) в тригонометрической форме.
   Модуль: \( r = \sqrt{(-5)^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \).
   Аргумент \( \phi \) такой, что \( \cos \phi = -\frac{5}{13} \) и \( \sin \phi = \frac{12}{13} \).
2. Шаг 2: Используем формулу для извлечения квадратного корня из комплексного числа \( z = \sqrt{r} \left( \cos\left(\frac{\phi + 2\pi k}{2}\right) + i \sin\left(\frac{\phi + 2\pi k}{2}\right) \right) \), где \( k = 0, 1 \).
3. Шаг 3: Для \( k=0 \):
   \( z_1 = \sqrt{13} \left( \cos\left(\frac{\phi}{2}\right) + i \sin\left(\frac{\phi}{2}\right) \right) \).
   Для нахождения \( \cos(\phi/2) \) и \( \sin(\phi/2) \) используем формулы половинного угла:
   \( \cos^2(\phi/2) = \frac{1 + \cos \phi}{2} = \frac{1 - 5/13}{2} = \frac{8/13}{2} = \frac{4}{13} \)
   \( \sin^2(\phi/2) = \frac{1 - \cos \phi}{2} = \frac{1 - (-5/13)}{2} = \frac{18/13}{2} = \frac{9}{13} \).
   Так как \( \phi \) находится во второй четверти (cos < 0, sin > 0), то \( \phi/2 \) находится в первой четверти (cos > 0, sin > 0).
   \( \cos(\phi/2) = \sqrt{\frac{4}{13}} = \frac{2}{\sqrt{13}} = \frac{2\sqrt{13}}{13} \).
   \( \sin(\phi/2) = \sqrt{\frac{9}{13}} = \frac{3}{\sqrt{13}} = \frac{3\sqrt{13}}{13} \).
4. Шаг 4: Подставляем значения:
   \( z_1 = \sqrt{13} \left( \frac{2\sqrt{13}}{13} + i \frac{3\sqrt{13}}{13} \right) = \sqrt{13} \cdot \frac{\sqrt{13}}{13} (2 + 3i) = \frac{13}{13} (2 + 3i) = 2 + 3i \).
5. Шаг 5: Для \( k=1 \):
   \( z_2 = \sqrt{13} \left( \cos\left(\frac{\phi + 2\pi}{2}\right) + i \sin\left(\frac{\phi + 2\pi}{2}\right) \right) = \sqrt{13} \left( \cos\left(\frac{\phi}{2} + \pi\right) + i \sin\left(\frac{\phi}{2} + \pi\right) \right) \).
   Используя свойства периодичности и нечетности/четности косинуса и синуса:
   \( \cos(\frac{\phi}{2} + \pi) = -\cos(\frac{\phi}{2}) = -\frac{2\sqrt{13}}{13} \).
   \( \sin(\frac{\phi}{2} + \pi) = -\sin(\frac{\phi}{2}) = -\frac{3\sqrt{13}}{13} \).
6. Шаг 6: Подставляем значения:
   \( z_2 = \sqrt{13} \left( -\frac{2\sqrt{13}}{13} - i \frac{3\sqrt{13}}{13} \right) = \sqrt{13} \cdot \frac{\sqrt{13}}{13} (-2 - 3i) = \frac{13}{13} (-2 - 3i) = -2 - 3i \).

Ответ: \( z = 2 + 3i, z = -2 - 3i \)